22 listopada 2017

Przeczytane, przemyślane, skomentowane




    Piękno matematyki - odsłona druga


Matematyka jest alfabetem,
za pomocą którego Bóg opisał wszechświat.
(Galileusz)


Słysząc słowo piękno, oczyma wyobraźni widzimy najpierw krajobraz, ukochaną osobę lub dzieło słynnego malarza. Obraz   ten zawsze jest związany z jakiegoś rodzaju sztuką. Dla niektórych może to być także utwór muzyczny. Nie zdajemy sobie jednak sprawy z tego, że za piękno, które oddziałuje na nasze zmysły, odpowiada matematyka. Proporcje pięknych antycznych rzeźb określane były za pomocą matematyki, a odpowiednia kompozycja obrazu jest wyznaczana przecinającymi się liniami perspektywy według  jasno określonych geometrycznych zasad.

W poprzednim poście na temat  piękna matematyki był już omówiony złoty podział, zwany także boską proporcją, czyli bardzo ciekawe, a zarazem tajemnicze zagadnienie łączące piękno i matematykę.  Dla przypomnienia - jest to stosunek, który bardzo łatwo wyznaczyć wieloma sposobami, a jest równy w przybliżeniu φ=1,618 . Już w starożytności przypisywano mu walory estetyczne. Nawet prostokąt z bokami o długościach zachowanych w tej proporcji wygląda wyjątkowo ładnie. Niektóre formaty papieru, kopert i pocztówek zachowują wymiary zgodne z tą zasadą. Wielu historyków architektury dyskutuje na temat użycia tego stosunku podczas budowy Partenonu, ateńskiej świątyni. Szerokości czy wysokości niektórych części budowli wydają się podążać za boską proporcją, tak jakby miały w jeszcze większym stopniu zbliżyć świątynię do niebios. Bez względu na to, czy architekci owego obiektu intencjonalnie użyli tego stosunku do zaprojektowania budowli, możemy bezsprzecznie stwierdzić, że wykazali kunszt sztuki architektonicznej. Jak widzimy, nawet tam, gdzie wydaje się, że piękno było najpierw, odnajdujemy matematykę w bardzo prostej postaci. Niektóre elementy Partenonu zachowują długości złotej proporcji na rysunku  oznaczone za pomocą litery φ(fi).
Jednym z piękniejszych dzieł ludzkości jest muzyka. Już w starożytności wiadomo było, że, aby otrzymać przyjemnie współbrzmiące dźwięki, długości strun, z których te dźwięki się wydobywają, należy ustalić w bardzo prostych proporcjach takich jak 1:2, 2:3 itp. Bardziej zaawansowane zagadnienia matematyczne stosował Jan Sebastian Bach, uznawany za jednego z najwybitniejszych kompozytorów wszech czasów. Jeden z jego kanonów ma właściwości ściśle związane z pewnym matematycznym obiektem zwanym wstęgą Möbiusa. Utwór ten, na przykład, grany jednocześnie od początku i od końca tworzy konsonanse, czyli właśnie przyjemnie współbrzmiące dźwięki wspomniane wcześniej. Nawet, gdy odwrócimy pięciolinię z nutami do góry nogami, nadal będzie słychać brzmienia charakterystyczne dla muzyki baroku. Bardzo dobrze zostało to ukazane na tym materiale: 
Bezpośrednim dowodem na ukazanie piękna matematyki są fraktale graficzne. Ich   podstawową właściwością jest nieskończona złożoność. Możemy przyglądać się im przez długi okres i wciąż  znajdować nowe, całkiem odmienne struktury lub odszukiwać te same, które pojawiają się w nieoczekiwanych miejscach. Poprzez nałożenie w określony sposób kolorów na te struktury, możemy ujrzeć niezwykłe obrazy. Bardzo prostym fraktalem jest trójkąt Sierpińskiego. Możemy spróbować narysować go na kartce podczas nudnej dla nas  lekcji. Zaczynamy od narysowania równobocznego trójkąta. Następnie łączymy środki jego boków. W ten sposób dzielimy pierwszy trójkąt na cztery mniejsze. Łączymy środki boków każdego z nich oprócz środkowego i powtarzamy to wiele razy. W ten sposób umieszczając trójkąty  wewnątrz trójkątów, które już wcześniej narysowaliśmy wewnątrz innych trójkątów wpisanych w poprzednio skonstruowane trójkąty, uzyskujemy fraktal nazwany nazwiskiem polskiego matematyka, Wacława Sierpińskiego, który ten obiekt opisał. 

Jednym z najsłynniejszych fraktali jest zbiór Mandelbrota. Mimo  że ukazuje on skomplikowane zagadnienie, jest także źródłem nieskończonej ilości charakterystycznych wzorów. Zbiór Mandelbrota przy różnych powiększeniach ukazuje coraz to bardziej ciekawe struktury. Zdjęcie niżej.

Na koniec przeprowadzimy pewien eksperyment myślowy. Spójrzmy na ten ciąg liczb: 30, 1, 17, 20, 25, 5. Bardzo trudno znaleźć jakąś zależność między tymi liczbami. Jednak, gdy każdej liczbie z zakresu od 1 do 32 przyporządkujemy literę z polskiego alfabetu od „a” poczynając, kończąc na „ż”, ukaże nam się napis „Zamość”. W taki sposób można zapisać każdą wiadomość. Jest to bardzo prosty szyfr. Teraz wyobraźmy sobie, że udało nam się zdobyć trzydziestodwuścienną kostkę do gry. Wykonujemy nią kilka rzutów i za każdym razem zapisujemy, jaka liczba się ukazała. Gdy odczytamy liczby w ten sam sposób jak poprzednio, jest mała szansa, że ukaże nam się jakiś wyraz. Jeśli jednak będziemy wykonywać wciąż kolejne rzuty i postępować tak samo odpowiednią ilość razy, naszym oczom ukaże się nieskończony ciąg liter. Przeszukując ten długi wyraz natrafimy w końcu na słowa o konkretnym znaczeniu, nasze imiona, całe zdania, tekst tego postu, a nawet całą twórczość Mickiewicza. Wszystko to za sprawą losowego ułożenia cyfr. Źródłem takiej układanki może być na przykład rozwinięcie dziesiętne liczby pi (π ≈ 3,1415926535897932…), które jest nieskończonym ciągiem całkowicie losowych cyfr. Moim zdaniem jest to jeden z najbardziej niesamowitych sposobów na ukazanie piękna oraz nieskończonych możliwości świata matematyki.

Możemy się zastanawiać, czy te wszystkie piękne zależności są tylko przypadkiem, zostały ukształtowane przez ludzki umysł, czy może zostały umieszczone na tym miejscu przez wyższy byt. Jednak niewątpliwie bez względu na to, czy naszym powołaniem są nauki humanistyczne, ścisłe lub sztuka, nie możemy podważyć ich fascynujących możliwości, trwałej doskonałości, ani także ich matematycznego piękna. Jest to coś, co pozostanie z nami na zawsze.

Wojtek

Grafika:
http://finops.pl/2016/04/matematyczne-piekno-natury-w-kolorowance-dla-doroslych/
https://www.wolfram.com/mathematica/new-in-10/enhanced-visualization/HTMLImages.en/plot-the-mandelbrot-set/O_40.png
http://www.oftenpaper.net/img/siermathgb3.png
http://www.zobaczycmatematyke.krk.pl/przyklady/Badecka/partenon2.jpg