Piękno matematyki -
odsłona druga
Matematyka jest alfabetem,
za pomocą którego Bóg opisał wszechświat.
(Galileusz)
Słysząc słowo piękno, oczyma wyobraźni widzimy najpierw
krajobraz, ukochaną osobę lub dzieło słynnego malarza. Obraz ten
zawsze jest związany z jakiegoś rodzaju sztuką. Dla niektórych może to być
także utwór muzyczny. Nie zdajemy sobie jednak sprawy z tego, że za piękno,
które oddziałuje na nasze zmysły, odpowiada matematyka. Proporcje pięknych
antycznych rzeźb określane były za pomocą matematyki, a odpowiednia kompozycja
obrazu jest wyznaczana przecinającymi się liniami perspektywy według jasno określonych geometrycznych zasad.
W poprzednim poście na temat piękna matematyki był już omówiony złoty podział,
zwany także boską proporcją, czyli
bardzo ciekawe, a zarazem tajemnicze zagadnienie łączące piękno i matematykę. Dla przypomnienia - jest to stosunek, który
bardzo łatwo wyznaczyć wieloma sposobami, a jest równy w przybliżeniu φ=1,618 .
Już w starożytności przypisywano mu walory estetyczne. Nawet prostokąt z bokami
o długościach zachowanych w tej proporcji wygląda wyjątkowo ładnie. Niektóre
formaty papieru, kopert i pocztówek zachowują wymiary zgodne z tą zasadą. Wielu
historyków architektury dyskutuje na temat użycia tego stosunku podczas budowy
Partenonu, ateńskiej świątyni. Szerokości czy wysokości niektórych części
budowli wydają się podążać za boską proporcją, tak jakby miały w jeszcze
większym stopniu zbliżyć świątynię do niebios. Bez względu na to, czy
architekci owego obiektu intencjonalnie użyli tego stosunku do zaprojektowania
budowli, możemy bezsprzecznie stwierdzić, że wykazali kunszt sztuki
architektonicznej. Jak widzimy, nawet tam, gdzie wydaje się, że piękno było
najpierw, odnajdujemy matematykę w bardzo prostej postaci. Niektóre elementy
Partenonu zachowują długości złotej proporcji na rysunku oznaczone za pomocą litery φ(fi).
Jednym z piękniejszych dzieł ludzkości jest muzyka.
Już w starożytności wiadomo było, że, aby otrzymać przyjemnie współbrzmiące
dźwięki, długości strun, z których te dźwięki się wydobywają, należy ustalić w
bardzo prostych proporcjach takich jak 1:2, 2:3 itp. Bardziej zaawansowane
zagadnienia matematyczne stosował Jan Sebastian Bach, uznawany za jednego z
najwybitniejszych kompozytorów wszech czasów. Jeden z jego kanonów ma
właściwości ściśle związane z pewnym matematycznym obiektem zwanym wstęgą
Möbiusa. Utwór ten, na przykład, grany jednocześnie od początku i od końca
tworzy konsonanse, czyli właśnie przyjemnie współbrzmiące dźwięki wspomniane
wcześniej. Nawet, gdy odwrócimy pięciolinię z nutami do góry nogami, nadal
będzie słychać brzmienia charakterystyczne dla muzyki baroku. Bardzo dobrze
zostało to ukazane na tym materiale:
Bezpośrednim dowodem na ukazanie piękna
matematyki są fraktale graficzne.
Ich podstawową właściwością jest nieskończona złożoność. Możemy przyglądać się
im przez długi okres i wciąż znajdować
nowe, całkiem odmienne struktury lub odszukiwać te same, które pojawiają się w
nieoczekiwanych miejscach. Poprzez nałożenie w określony sposób kolorów na te
struktury, możemy ujrzeć niezwykłe obrazy. Bardzo prostym fraktalem jest
trójkąt Sierpińskiego. Możemy spróbować narysować go na kartce podczas nudnej dla nas
lekcji. Zaczynamy od
narysowania równobocznego trójkąta. Następnie łączymy środki jego boków. W ten
sposób dzielimy pierwszy trójkąt na cztery mniejsze. Łączymy środki boków
każdego z nich oprócz środkowego i powtarzamy to wiele razy. W ten sposób
umieszczając trójkąty wewnątrz trójkątów, które już wcześniej narysowaliśmy
wewnątrz innych trójkątów wpisanych w poprzednio skonstruowane trójkąty, uzyskujemy
fraktal nazwany nazwiskiem polskiego matematyka, Wacława Sierpińskiego, który
ten obiekt opisał.
Jednym z najsłynniejszych fraktali jest zbiór
Mandelbrota. Mimo że
ukazuje on skomplikowane zagadnienie, jest także źródłem nieskończonej ilości charakterystycznych
wzorów. Zbiór Mandelbrota przy różnych powiększeniach ukazuje coraz to bardziej
ciekawe struktury. Zdjęcie niżej.
Na koniec przeprowadzimy pewien eksperyment
myślowy. Spójrzmy na ten ciąg liczb: 30, 1, 17, 20, 25, 5. Bardzo trudno znaleźć
jakąś zależność między tymi liczbami. Jednak, gdy każdej liczbie z zakresu od 1
do 32 przyporządkujemy literę z polskiego alfabetu od „a” poczynając, kończąc
na „ż”, ukaże nam się napis „Zamość”. W taki sposób można zapisać każdą
wiadomość. Jest to bardzo prosty szyfr. Teraz wyobraźmy sobie, że udało nam się
zdobyć trzydziestodwuścienną kostkę do gry. Wykonujemy nią kilka rzutów i za
każdym razem zapisujemy, jaka liczba się ukazała. Gdy odczytamy liczby w ten
sam sposób jak poprzednio, jest mała szansa, że ukaże nam się jakiś wyraz.
Jeśli jednak będziemy wykonywać wciąż kolejne rzuty i postępować tak samo
odpowiednią ilość razy, naszym oczom ukaże się nieskończony ciąg liter.
Przeszukując ten długi wyraz natrafimy w końcu na słowa o konkretnym znaczeniu,
nasze imiona, całe zdania, tekst tego postu, a nawet całą twórczość
Mickiewicza. Wszystko to za sprawą losowego ułożenia cyfr. Źródłem takiej
układanki może być na przykład rozwinięcie dziesiętne liczby pi (π ≈
3,1415926535897932…), które jest nieskończonym ciągiem całkowicie losowych
cyfr. Moim zdaniem jest to jeden z najbardziej niesamowitych sposobów na
ukazanie piękna oraz nieskończonych możliwości świata matematyki.
Możemy się zastanawiać, czy te wszystkie piękne
zależności są tylko przypadkiem, zostały ukształtowane przez ludzki umysł, czy
może zostały umieszczone na tym miejscu przez wyższy byt. Jednak niewątpliwie
bez względu na to, czy naszym powołaniem są nauki humanistyczne, ścisłe lub
sztuka, nie możemy podważyć ich fascynujących możliwości, trwałej doskonałości,
ani także ich matematycznego piękna. Jest to coś, co pozostanie z nami na
zawsze.
Wojtek
Grafika:
http://finops.pl/2016/04/matematyczne-piekno-natury-w-kolorowance-dla-doroslych/
https://www.wolfram.com/mathematica/new-in-10/enhanced-visualization/HTMLImages.en/plot-the-mandelbrot-set/O_40.png
http://www.oftenpaper.net/img/siermathgb3.png
http://www.zobaczycmatematyke.krk.pl/przyklady/Badecka/partenon2.jpg