Piękno matematyki
Temu, kto nie zna matematyki,
trudno spostrzec głębokie piękno przyrody.
(Richard Feynman)
Na pytanie, czy lubisz matematykę, w większości
przypadków usłyszelibyśmy odpowiedź przeczącą. Dzisiejszy post będzie dotyczył
tej dziedziny nauki, lecz od przyjaznej strony, aby nawet największy jej
przeciwnik miał okazję się do niej przekonać.
Złota
proporcja
(inaczej złoty podział, boska proporcja) pojawia się w wielu elementach
rzeczywistości, która nas otacza. Zachwycała
przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów
niezwykle interesującymi własnościami. Pojęcie złotej proporcji zostało po raz
pierwszy zdefiniowane przez Euklidesa, greckiego matematyka żyjącego w latach
ok. 365 - 300 r. p.n.e., w jego dziele Elementy. Czym jest więc owa proporcja? Wyobraźmy
sobie odcinek, który jest podzielony na dwa mniejsze odcinki. Gdy stosunek
całego odcinka do dłuższej części z nich jest taki sam jak stosunek dłuższej
części do krótszej, to właśnie wtedy mamy do czynienia ze złotym podziałem. Stosunek
ten wynosi w przybliżeniu 1,61 i nazywa się złotą liczbą, którą oznacza się grecką
literą φ (czyt. fi).
Ciąg
Fibonacciego.
Z pojęciem złotego podziału jest związane inne, które nazywa się ciągiem Fibonacciego.
Polega on na tym, że dwa pierwsze wyrazy tego ciągu to dwie jedynki, a każdy
kolejny wyraz powstaje przez zsumowanie dwóch poprzednich wyrazów. Wygląda on
następująco: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
... Na pierwszy rzut oka trudno jest się dopatrzeć jakichkolwiek wyjątkowych właściwości
takiego podziału, lecz skrywa on w sobie wiele fascynujących rzeczy, z którymi,
moim zdaniem, warto się zapoznać. Ciąg Fibonacciego jest wykorzystywany w wielu
dziedzinach, choćby na przykład w muzyce. W XX wieku był stosowany przez
niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii.
Motyw ciągu Fibonacciego został wykorzystany także w utworach literackich. W powieści
Kod Leonarda da Vinci Dana Browna stanowi on element jednego z
kodów, który muszą złamać główni bohaterowie. Fragment tego utworu dotyczy
omawianego przeze mnie zagadnienia:
Nagle
poczuł się, jakby wrócił do Harvardu i prowadził zajęcia na temat symboliki w
sztuce. Stoi przed studentami i pisze kredą na tablicy swoją ulubioną
liczbę: 1,618.
Zwrócił
się do zaciekawionych studentów:
- Kto może
powiedzieć, co to za liczba?
Wysoki
student matematyki w tyle sali podniósł rękę.
- To jest
Fi.
- Bardzo
dobrze Stettner – powiedział Langdon. – Przedstawiam państwu liczbę Fi.
- Nie
mylić z pi – dodał Stettner, śmiejąc się. – Jak mówimy my, matematycy, Fi jest
o wiele bardziej odlotowa niż pi!
Langdon
roześmiał się, ale chyba nikt inny nie zrozumiał dowcipu.
Stettner
usiadł.
- Fi –
mówił dalej Langdon – jeden, przecinek sześćset osiemnaście, jest w sztuce
liczbą niezwykle ważną. Kto wie, dlaczego?
Stettner
próbował się zrehabilitować.
- Jest
ładna?
W sali
rozległy się śmiechy.
Rzeczywiście
- powiedział Langdon. – Stettner znowu ma rację. Uważa się ogólnie, że Fi jest
najpiękniejszą liczbą we wszechświecie.”
Dlaczego
doskonała proporcja jest doskonała? Dlatego, że kształty oparte na tej zasadzie są
estetyczne. Patrząc na takie właśnie kształty, odnosimy wrażenie harmonii.
Dostrzegamy piękno takie jak w obrazie wybitnego malarza. Znając boską
proporcję , możemy przy minimum zdolności artystycznych zrobić coś przyjemnego
dla oka. Jeśli ktoś z Was chce w przyszłości tworzyć sztukę, projektować
plakaty czy strony internetowe, pomocna okaże się znajomość cudownego podziału.
Aby potwierdzić te słowa, przyjrzyjmy się, gdzie można spotkać boską proporcję?
Okazuje się, że nie trzeba jej szukać zbyt daleko, gdyż na tym podziale opiera
się ludzkie ciało. Dla przykładu jest to: odległość od brwi do ust podzielona
przez długość nosa, wysokość twarzy podzielona przez szerokość twarzy, długość
nogi podzielona przez odległość od podłogi do kolana, wzrost człowieka
podzielona przez odległość od podłogi do pępka. Przykłady można by wymieniać
długo, bowiem nasze ciało jest zbudowane z elementów, których proporcje długości
zawsze równają się fi. Taki stan rzeczy
pozostaje nie bez znaczenia, ponieważ, jak eksperymentalnie dowiedziono,
człowiek jest tym atrakcyjniejszy, im wyżej wymienione stosunki są bardziej
zbliżone do złotej liczby. Niżej: Człowiek
witruwiański Leonarda da Vinci.
Gdzie jeszcze znajdziemy ową proporcję? Wszędzie!
Choćby w ułożeniu pestek słonecznika, budowie skrzypiec, muszli ślimaka czy
galaktykach spiralnych.
Przykład złotego podziału dowodzi, że matematyka
nie kończy się tylko w naszych zeszytach,
lecz również decyduje, jak wygląda natura i jak ją postrzegamy. Bez niej
z pewnością nie moglibyśmy zachwycić się pięknem przyrody, udając się na
wiosenny spacer do parku. Pamiętajcie, że matematyka to nie tylko odliczanie
czterdziestu pięciu minut do wymarzonego dzwonka, lecz również realna część
naszej rzeczywistości. Zanim na pytanie: Czy
lubisz matematykę? odpowiecie: nie, zastanówcie się, czy naprawdę nie
jest nam potrzebna w życiu. Mnie na przykład przekonują słowa Witolda
Pogorzelskiego: Matematyka
jest melodią myśli.
W środę do piękna matematyki będzie nas
przekonywał także Wojtek. Zapraszam.
R.
Grafika: